Цепная дробь
Непрерывная дробь (или цепная дробь) — это конечное или бесконечное математическое выражение вида
где
где
есть целое число, а все остальные
— натуральные числа (положительные целые).
При этом числа
называются неполными частными или элементами
цепной дроби.
Любое вещественное число можно представить в виде цепной дроби (конечной или бесконечной). Число представляется конечной цепной дробью тогда и только тогда, когда оно рационально.
Главное (но далеко не единственное) назначение непрерывных дробей состоит в том, что они позволяют находить хорошие приближения вещественных чисел в виде обычных дробей. Непрерывные дроби широко используются в теории чисел и вычислительной математике, а их обобщения оказались чрезвычайно полезны в математическом анализе и других разделах математики. Используются также в физике, небесной механике, технике и других прикладных сферах деятельности.
Любое вещественное число можно представить в виде цепной дроби (конечной или бесконечной). Число представляется конечной цепной дробью тогда и только тогда, когда оно рационально.
Главное (но далеко не единственное) назначение непрерывных дробей состоит в том, что они позволяют находить хорошие приближения вещественных чисел в виде обычных дробей. Непрерывные дроби широко используются в теории чисел и вычислительной математике, а их обобщения оказались чрезвычайно полезны в математическом анализе и других разделах математики. Используются также в физике, небесной механике, технике и других прикладных сферах деятельности.
Развитие понятия.
Биография Христиана Гюйгенса
Христиа́н Гю́йгенс (1629 — 1695)
Нидерландский механик,физик,математик,астроном и изобретатель.Один из основоположников теоретической механики и теории вероятностей.Положил начало волновой оптике.
Научные работы Христиана Гюйгенса
Гюйгенсу «было суждено
усовершенствовать и развить
важнейшие открытия Галилея»
Лагранж
1651 год
«Сочинение о квадратуре гиперболы, эллипса и круга.»
усовершенствовать и развить
важнейшие открытия Галилея»
Лагранж
1651 год
«Сочинение о квадратуре гиперболы, эллипса и круга.»
1654 год
«Теория эволют и эвольвент»
1655 год
«Описание колец Сатурна»
«Теория эволют и эвольвент»
1655 год
«Описание колец Сатурна»
1657 год
«Описание устройства изобретённых часов с маятником»
1673 год
Труд по механике «Маятниковые часы» («Horologium oscillatorium, sive de motu pendulorum an horologia aptato demonstrationes geometrica»).
1678 год
Treatise on Light ("Трактат о свете", английский перевод).
«Описание устройства изобретённых часов с маятником»
1673 год
Труд по механике «Маятниковые часы» («Horologium oscillatorium, sive de motu pendulorum an horologia aptato demonstrationes geometrica»).
1678 год
Treatise on Light ("Трактат о свете", английский перевод).
1690 год
«Принцип Гюйгенса»
1698 год
«ΚΟΣΜΟΘΕΩΡΟΣ sive de terris coelestibus earumque ornatu conjecturae» (на латинском языке; опубликована посмертно в Гааге).
Книга Гюйгенса получила широчайшее распространение в Европе, где была переведена на английский (1698), голландский (1699), французский (1702), немецкий (1703), русский (1717) и шведский (1774) языки. На русский язык по указу Петра I была переведена Яковом Брюсом под названием «Книга мирозрения». Считается первой в России книгой, где излагается гелиоцентрическая система Коперника.
«Принцип Гюйгенса»
1698 год
«ΚΟΣΜΟΘΕΩΡΟΣ sive de terris coelestibus earumque ornatu conjecturae» (на латинском языке; опубликована посмертно в Гааге).
Книга Гюйгенса получила широчайшее распространение в Европе, где была переведена на английский (1698), голландский (1699), французский (1702), немецкий (1703), русский (1717) и шведский (1774) языки. На русский язык по указу Петра I была переведена Яковом Брюсом под названием «Книга мирозрения». Считается первой в России книгой, где излагается гелиоцентрическая система Коперника.
Переводы на русский язык
«Книга мирозрения и мнение о небесно-земных глобусах и их украшениях».
Пер. Якова Брюса. Санкт-Петербург, 1717;
2-е изд., 1724 (в русском издании не указано имя переводчика, но согласно «ЭСБЕ» и «РБСП» это был Христофор Гавенский).
Архимед. Гюйгенс. Лежандр. Ламберт.« О квадратуре круга.» С приложением истории вопроса, составленной Ф. Рудио.
Пер. С. Н. Бернштейна. Одесса, Mathesis, 1913. (Репринт: М.: УРСС, 2002).
Гюйгенс Х. "Трактат о свете", в котором объяснены причины того, что с ним происходит при отражении и преломлении, в частности при странном преломлении исландского кристалла.
М.-Л.: ОНТИ, 1935.
Гюйгенс Х. Три мемуара по механике. М.: Изд. АН СССР, 1951.
Серия: Классики науки.
- Маятниковые часы.
- О движении тел под влиянием удара.
- О центробежной силе.
Влад в изучение цепных дробей русских и советских ученых.
Цепные дроби в окружающем мире
Принцип цепной дроби созвучен понятию рекурсии в программировании.
Рекурсивным называется способ построения объекта (понятия, системы, описание действия), в котором определение объекта включает аналогичные объекты (понятие, систему, действие) в виде составных частей.
Примеры рекурсии можно встретить в литературе, искусстве, фольклоре.
«У попа была собака, он ее любил.
Она съела кусок мяса, он ее убил.
Камнем придавил, и на камне написал:
«У попа была собака...»
(Детская считалка)
«Я оглянулся посмотреть, не оглянулась ли она,
чтоб посмотреть, не оглянулся ли я...»
(Максим Леонидов, «Девочка-видение», песня).
Цепные дроби – абстрактный объект теории чисел, они широко используются в различных разделах математики и физики, особенно в механике. Но они очень востребованы другими науками.
Со времён Баха в музыке используется равномерно темперированная шкала, содержащая 12 полутонов в каждой октаве. Почему же возникло деление октавы именно на 12 интервалов? Чтобы октава и натуральная квинта по возможности более точно укладывались в одну и ту же равномерную темперацию (деление октавы на равные по слуху интервалы), октаву нужно поделить на столько частей, чтобы число log2(3/2) хорошо приближалось дробью с выбранным знаменателем.
При разработке солнечного календаря необходимо найти рациональное приближение для числа дней в году, которое равно 365,2421988…
С помощью теории цепных дробей вычисляется приближенное значение золотого сечения . Это число отражает пропорции объектов, воспринимаемых человеком как гармоничные. Правилом золотого сечения пользуются архитекторы, художники, дизайнеры. Золотое сечение часто встречается в природе и повседневной жизни, даже пропорции тела человека близки к этому числу.
Фигуры с рекурсивным подобием называются фракталами.
В природе фрактальными свойствами обладают многие объекты: кроны деревьев, цветная капуста, облака, кровеносная и альвеолярная системы человека и животных, кристаллы, снежинки, элементы которых выстраиваются в одну сложную структуру, побережья (фрактальная концепция позволила ученым измерить береговую линию Британских островов и другие, ранее неизмеримые, объекты).
Рекурсивным называется способ построения объекта (понятия, системы, описание действия), в котором определение объекта включает аналогичные объекты (понятие, систему, действие) в виде составных частей.
Примеры рекурсии можно встретить в литературе, искусстве, фольклоре.
«У попа была собака, он ее любил.
Она съела кусок мяса, он ее убил.
Камнем придавил, и на камне написал:
«У попа была собака...»
(Детская считалка)
«Я оглянулся посмотреть, не оглянулась ли она,
чтоб посмотреть, не оглянулся ли я...»
(Максим Леонидов, «Девочка-видение», песня).
Цепные дроби – абстрактный объект теории чисел, они широко используются в различных разделах математики и физики, особенно в механике. Но они очень востребованы другими науками.
Со времён Баха в музыке используется равномерно темперированная шкала, содержащая 12 полутонов в каждой октаве. Почему же возникло деление октавы именно на 12 интервалов? Чтобы октава и натуральная квинта по возможности более точно укладывались в одну и ту же равномерную темперацию (деление октавы на равные по слуху интервалы), октаву нужно поделить на столько частей, чтобы число log2(3/2) хорошо приближалось дробью с выбранным знаменателем.
При разработке солнечного календаря необходимо найти рациональное приближение для числа дней в году, которое равно 365,2421988…
С помощью теории цепных дробей вычисляется приближенное значение золотого сечения . Это число отражает пропорции объектов, воспринимаемых человеком как гармоничные. Правилом золотого сечения пользуются архитекторы, художники, дизайнеры. Золотое сечение часто встречается в природе и повседневной жизни, даже пропорции тела человека близки к этому числу.
Фигуры с рекурсивным подобием называются фракталами.
В природе фрактальными свойствами обладают многие объекты: кроны деревьев, цветная капуста, облака, кровеносная и альвеолярная системы человека и животных, кристаллы, снежинки, элементы которых выстраиваются в одну сложную структуру, побережья (фрактальная концепция позволила ученым измерить береговую линию Британских островов и другие, ранее неизмеримые, объекты).
