Система древнерусских дробей
В источниках часто встречается деление отдельных мер и денежных единиц на более мелкие части по системе двух и трёх. Для ясного понимания этого деления следует хорошо себе представить структуру древнерусских дробей.
Половина какого-либо количества обозначается словом «пол».
Половина какого-либо количества обозначается словом «пол».
- 1/3 — словом «треть».
- 1/4 — словом «четь» или «четверть».
- 1/6 — «пол-трети».
- 1/8 — «пол-чети» или «пол-четверти».
- 1/12 — «пол-пол-трети».
- 1/16 — «пол-пол-чети».
- 1/24 — «пол-пол-пол-трети».
- 1/32 — «пол-пол-пол-чети» и т. д.
Так появляются понятия: пол-трети коробьи, пол-четверти зобницы, пол-деньги и т. д. Дальнейшее присоединение частицы «пол» даёт ещё более дробные части, делящиеся на два.
Не следует путать «четверть» или «четь», как единицу измерения земельной площади или меру сыпучих тел, с «четвертью» или «четью», как дробью. Дробное выражение пол-четверти — 1/8. Но половина четверти как земельной меры, это — осьмина (более мелкая единица измерения). Следовательно, пол-осьмины = 1/4 четверти как земельной меры, пол-пол-осьмины = 1/8 (или пол-четверти) четверти как земельной меры.
Надо иметь в виду также, что часто в древнерусских источниках дроби выражаются посредством сложения и вычитания. Например, 11/24 = треть (1/3) и пол-пол-трети (+ 1/12) и пол-пол-пол-трети (+ 1/24). Или 29/96 = треть без пол-пол-пол-четверти (1/3 — 1/32).
Наконец, следует остановиться также на обозначении целых чисел с дробями. Для обозначения какого-то числа единиц без половины единицы употребляется выражение: пол-указанного неполного количества единиц.
Например:
Целое число с дробью (больше половины) древнерусские источники выражают путём вычитания. Например, 4,3/4 = 5 без четверти, 6,7/8 = = 7 без пол-четверти. 9,11/12 = 10 без пол-пол-трети.
Для целых чисел с дробью (меньше половины) мы найдём такие выражения: два с третью (2,1/3), три с четвертью (З,1/4) и т. д.
Оперируя системой дробей при рассмотрении земельных площадей, надо опять-таки учитывать разницу между четвертью, как единицей измерения поверхности, и четвертью как дробью = 1/4.
Выражение — 2 четверти с осьминою и — пол-пол-третника пашни — означает 2 четверти пашни + 1/2 четверти пашни + 1/12 четверти пашни = 2,7/12 четверти пашни.
4 четверти без третника пашни = 4 — 1/3 четверти пашни = 3,2/3 четверти пашни.
Не следует путать «четверть» или «четь», как единицу измерения земельной площади или меру сыпучих тел, с «четвертью» или «четью», как дробью. Дробное выражение пол-четверти — 1/8. Но половина четверти как земельной меры, это — осьмина (более мелкая единица измерения). Следовательно, пол-осьмины = 1/4 четверти как земельной меры, пол-пол-осьмины = 1/8 (или пол-четверти) четверти как земельной меры.
Надо иметь в виду также, что часто в древнерусских источниках дроби выражаются посредством сложения и вычитания. Например, 11/24 = треть (1/3) и пол-пол-трети (+ 1/12) и пол-пол-пол-трети (+ 1/24). Или 29/96 = треть без пол-пол-пол-четверти (1/3 — 1/32).
Наконец, следует остановиться также на обозначении целых чисел с дробями. Для обозначения какого-то числа единиц без половины единицы употребляется выражение: пол-указанного неполного количества единиц.
Например:
- 2,1/2 = полтретьи (три без половины, 2 единицы и половина третьей единицы);
- 3,1/2 = полчетверты;
- 4,1/2 = полпяты;
- 5,1/2 = полшесты;
- 6,1/2 = полсемы;
- 7,1/2, = полосьмы;
- 8,1/3 = полдевяты;
- 10,1/2 = полдесяти и т. д.
Целое число с дробью (больше половины) древнерусские источники выражают путём вычитания. Например, 4,3/4 = 5 без четверти, 6,7/8 = = 7 без пол-четверти. 9,11/12 = 10 без пол-пол-трети.
Для целых чисел с дробью (меньше половины) мы найдём такие выражения: два с третью (2,1/3), три с четвертью (З,1/4) и т. д.
Оперируя системой дробей при рассмотрении земельных площадей, надо опять-таки учитывать разницу между четвертью, как единицей измерения поверхности, и четвертью как дробью = 1/4.
Выражение — 2 четверти с осьминою и — пол-пол-третника пашни — означает 2 четверти пашни + 1/2 четверти пашни + 1/12 четверти пашни = 2,7/12 четверти пашни.
4 четверти без третника пашни = 4 — 1/3 четверти пашни = 3,2/3 четверти пашни.
Как появилось слово «дробь» ?
В русском языке слово «дробь» появилось лишь в VIII веке. Происходит слово «дробь» от слова «дробить, разбивать, ломать на части». У других народов название дроби также связано с глаголами «ломать», «разбивать», «раздроблять».
Первым математиком, изложившим деление целого на части, был учёный монах Кирик Новгородец .В 1136 году он написал труд, в котором изложил метод «счисления лет». Кирик занимался вопросами хронологии и календаря. В своем труде он привел в том числе и деление часа на части: пятые, двадцать пятые и так далее доли. Деление целого на части применялось при расчете размера налога в XV-XVII веках. Использовались операции сложения, вычитания, деления и умножения с дробными частями.
Первым математиком, изложившим деление целого на части, был учёный монах Кирик Новгородец .В 1136 году он написал труд, в котором изложил метод «счисления лет». Кирик занимался вопросами хронологии и календаря. В своем труде он привел в том числе и деление часа на части: пятые, двадцать пятые и так далее доли. Деление целого на части применялось при расчете размера налога в XV-XVII веках. Использовались операции сложения, вычитания, деления и умножения с дробными частями.
Художественное изображение Кирика Новгородца
Леонтий Филиппович Магницкий (1669 — 1739) — русский математик,педагог
Полная теория дробей, мало чем отличающаяся от современной, была изложена в первом учебнике по арифметике, написанном в 1701 году Леонтием Филипповичем Магницким. «Арифметика» состояла из нескольких частей. О дробях подробно автор рассказывает в разделе «О числах ломаных или с долями». Магницкий приводит операции с «ломанными» числами, разные их обозначения. Сегодня по-прежнему в числе самых сложных разделов математики называются дроби.
История дробей также не была простой. Разные народы иногда независимо друг от друга, а иногда заимствуя опыт предшественников, пришли к необходимости введения, освоения и применения долей числа. Всегда учение о дробях вырастало из практических наблюдений и благодаря насущным проблемам. Необходимо было делить хлеб, размечать равные участки земли, высчитывать налоги, измерять время и так далее.
История дробей также не была простой. Разные народы иногда независимо друг от друга, а иногда заимствуя опыт предшественников, пришли к необходимости введения, освоения и применения долей числа. Всегда учение о дробях вырастало из практических наблюдений и благодаря насущным проблемам. Необходимо было делить хлеб, размечать равные участки земли, высчитывать налоги, измерять время и так далее.
Цифирь:
Как на Руси учились считать до Петра Великого
Как на Руси учились считать до Петра Великого
В допетровские времена русские пользовались старинным способом счета, который известен нам ныне под словом «цифирь».
Особенности цифири
Фактически, цифирь – это местный аналог римской системы счисления, где вместо привычных для нас цифр использовались кириллические буквы, но с рядом своих характерных особенностей.
Некоторые моменты в использовании цифири просты и доступны для восприятия: аз – это единица, веди – два и т.д. Во избежание возможной путаницы такие цифры сверху сопровождались дополнительным волнообразным символом – титлом, который отличал их от обычных букв текста.
Сложности в освоении цифири, впрочем, начинались очень скоро, уже с первых двузначных чисел. Буквенное кириллическое обозначение 10 – i. Особенность написания цифр от 11 до 19 заключалась в том, что их надо было читать справа налево. Соответственно число 11, правильно записанное цифирью, выглядело бы как аi (1 + 10). Навеки пропав из математики, эта особенность старорусского счета накрепко засела в языке. Вдумайтесь: один-на-дцать. Сначала в слове фигурирует не порядковое обозначение десятка, а цифра, следующая второй.
Особенности цифири
Фактически, цифирь – это местный аналог римской системы счисления, где вместо привычных для нас цифр использовались кириллические буквы, но с рядом своих характерных особенностей.
Некоторые моменты в использовании цифири просты и доступны для восприятия: аз – это единица, веди – два и т.д. Во избежание возможной путаницы такие цифры сверху сопровождались дополнительным волнообразным символом – титлом, который отличал их от обычных букв текста.
Сложности в освоении цифири, впрочем, начинались очень скоро, уже с первых двузначных чисел. Буквенное кириллическое обозначение 10 – i. Особенность написания цифр от 11 до 19 заключалась в том, что их надо было читать справа налево. Соответственно число 11, правильно записанное цифирью, выглядело бы как аi (1 + 10). Навеки пропав из математики, эта особенность старорусского счета накрепко засела в языке. Вдумайтесь: один-на-дцать. Сначала в слове фигурирует не порядковое обозначение десятка, а цифра, следующая второй.
Запись больших чисел цифирью
Как и во всех подобных, основанных на алфавите системах счисления, наибольшие трудности цифири были сопряжены с записью очень больших цифр.
Число 10 000 называлось нашими предками «тьмой». Для обозначения «тьмы» на письме русские заключали нужную им цифру кириллицы в сплошной круг.
Следующая сложность возникала с записью цифр, начиная от ста тысяч. Это число называлось на древнерусском языке словом «легион» и (вероятно, являлось отсылкой к библейскому изречению «имя им – легион») записывалось за счет включения нужных кириллических цифр в штрих-пунктирный круг.
Миллион, называемый словом «леодр», записывался аналогичным способом, но окружность составлялась из запятых, а вот если круг сформировать из крестов – то это уже большее число, называемое «вран», обозначающий бешеное число в десять миллионов.
Как видно, при записи расчетов больших цифр вся эта система выглядела очень громоздко и едва ли способствовала скорому расцвету отечественной математической школы. Поэтому, как уже было сказано выше, в петровские времена от нее постепенно начали отказываться.
Переход к цифирным дробям
12 марта 1714 года по указу Петра I в Российской империи открылись цифирные школы для обучения «малых ребяток из разных чинов».
В указе Петра Великого предписывалось: всем губерниям и провинциям империи открыть на своих территориях цифирные школы, где в обязательном порядке должны обучаться дети от 10 до 15 лет.
Арифметические от обычных школ мало чем отличались в методах воспитания. Будущую «техническую интеллигенцию» России очень даже охотно подвергали телесному наказанию, даже за малейшие провинности.
В 1715 году Школу математических и навигацких наук переместили из Москвы в Петербург. С этого момента стали создаваться цифирные школы во всей России. Распоряжением Петра I было направлено в разные губернии по два выпускника питерской школы, овладевших геометрией, географией и арифметикой, дабы на местах они обучали наукам «молодых ребяток из всяких чинов людей».
Буквально на следующий год в двенадцати городах страны заработали цифирные школы. К 1722 году в России насчитывалось уже тридцать подобных учебных заведений.
В указе Петра Великого предписывалось: всем губерниям и провинциям империи открыть на своих территориях цифирные школы, где в обязательном порядке должны обучаться дети от 10 до 15 лет.
Арифметические от обычных школ мало чем отличались в методах воспитания. Будущую «техническую интеллигенцию» России очень даже охотно подвергали телесному наказанию, даже за малейшие провинности.
В 1715 году Школу математических и навигацких наук переместили из Москвы в Петербург. С этого момента стали создаваться цифирные школы во всей России. Распоряжением Петра I было направлено в разные губернии по два выпускника питерской школы, овладевших геометрией, географией и арифметикой, дабы на местах они обучали наукам «молодых ребяток из всяких чинов людей».
Буквально на следующий год в двенадцати городах страны заработали цифирные школы. К 1722 году в России насчитывалось уже тридцать подобных учебных заведений.
Петр I Алексеевич (1672 – 1725) – последний царь всея Руси и первый Император Всероссийский
Учеба в арифметических школах была обязательной. Попытка увильнуть от нее каралась призывом на военную службу и запретом жениться.
«Не хочу учиться, а хочу жениться», – эта реплика Митрофанушки из комедии Фонвизина «Недоросль» как раз об этом. Именно «недорослями» хлестко называли юношей, бросивших учебу в цифирной школе.
Под конец правления Петра I практически каждая российская губерния была обеспечена двумя школами: светской и духовной. Однако, подобно многим другим начинаниям, образовательная система царя-реформатора после его кончины очень быстро деградировала.
Арифметические школы просуществовали сравнительно недолго. Тем не менее, они успели решить ключевую задачу в сфере российского просвещения. Многие выпускники цифирных школ нашли свое призвание в государевой службе на благо Отечества, везде, где требовались крепкие знания и высокий профессионализм.
Первая математическая энциклопедия
Бесценна роль знаменитой «Арифметики» – учебной энциклопедии Леонтия Магницкого, который составил ее по велению императора. В свой звездный час она оказалась в руках Михайло Ломоносова и коренным образом изменила не только судьбу поморского юноши, но и России. Позже он назовет её «вратами своей учености».
Особенности древнерусского речевого выражения правильных и смешанных дробей
На Руси слово дробь появилось в VII веке. Оно происходило от глагола «дробить», т.е ломать на части. При записи дробного числа использовалась вертикальная черта. Для каждой дроби существовало единое название. Так например дробь 1/2 называли половиной, 1/3 - третью, 1/4 - четвертью, 1/6 - полтретью, 1/8 - полчетью, 1/12 - полполтретью, 1/16 - полполчетью и т.д. Можно заметить, что часто используется слово «пол» в значении половина. Так дробь 1/6 является половиной трети - 1/3, поэтому такое и название этой дроби - полтреть.
Однако в Древней Руси для измерения площади земли использовали дроби четверть и получеть, которую стали называть осьминой. Эти дроби были были ориентированны на измерение гектаров земли. Но осьминой не пользовались для измерения времени. Только значительно позднее дробью 1/8 можно было выразить все другие величины.
В книге В.Беллюстина «Как постепенно люди дошли до настоящей арифметики» можно обнаружить, что доли со знаменателями 5, 7 и 10 выражались названиями с окончанием «ина». Так 1/5 - пятина, 1/7 - седьмина, 1/10 - десятина. А доли со знаменателями больше 10 выражались с помощью слова «жеребий». Но при этом знаменатель должен быть нечётным. Например 2/11 - две двенадцатых жеребьёв.
Однако в Древней Руси для измерения площади земли использовали дроби четверть и получеть, которую стали называть осьминой. Эти дроби были были ориентированны на измерение гектаров земли. Но осьминой не пользовались для измерения времени. Только значительно позднее дробью 1/8 можно было выразить все другие величины.
В книге В.Беллюстина «Как постепенно люди дошли до настоящей арифметики» можно обнаружить, что доли со знаменателями 5, 7 и 10 выражались названиями с окончанием «ина». Так 1/5 - пятина, 1/7 - седьмина, 1/10 - десятина. А доли со знаменателями больше 10 выражались с помощью слова «жеребий». Но при этом знаменатель должен быть нечётным. Например 2/11 - две двенадцатых жеребьёв.
Десятина - 1/10 - употреблялась в России до XVI века и обозначала 1,09 га. Ранее, ещё при князе Владимире, на Руси десятиной называли 1/10 часть доходов, которая шла на расходы Десятинной церкви в Киеве.
План и реконструкция Десятинной церкви в Киеве
989 — 996 гг.
989 — 996 гг.
Один из первых русских математиков, монах Новгородского монастыря Кирик жил в XII веке. Однажды он задумался о делении часа на части и выразил свои мысли в рукописной книге «Учение им же ведати человеку числа всех лет» (1136). В ней он применил деление часа на пятые, двадцать пятые и сто двадцать пятые. Их он называл «дробными часами» или «часцами».
В 1703 году был издан первый русский учебник по арифметике «Арифметика сиречь наука численная» , автором которого был Леонтий Филиппович Магницкий. В этой книге излагается устройство десятичной системы исчисления и вводит арабские цифры вместо буквенных обозначения. Эту дату можно считать концом доцифирной арифметики в России.
В 1703 году был издан первый русский учебник по арифметике «Арифметика сиречь наука численная» , автором которого был Леонтий Филиппович Магницкий. В этой книге излагается устройство десятичной системы исчисления и вводит арабские цифры вместо буквенных обозначения. Эту дату можно считать концом доцифирной арифметики в России.
Именования современных дробей по
древнерусским правилам
древнерусским правилам
- 3/13 - три тринадцатых жеребьёв
- 7/19 - семь девятнадцатых жеребьёв
- 11/17 - одиннадцать семнадцатых жеребьёв
- 6/15 - шесть пятнадцатых жеребьёв
- 10/39 - десять тридцать девятых жеребьёв
- 2/5 - две пятины
- 3/7 - три седьмины
- 9/20 = 1/4+1/5- четь да пятина
- 27/70 = 1/10+2/7- десятина, да две седьмины
- 1 17/42 = 5/6+4/7- пять полтретьих, да четыре седьмины
Причины возникновения сошной арифметики - древнерусского учения о дробях
Умели ли вычислять в Древней Руси? Если да, то что собой представляли древнерусские вычислительные приемы? Совпадали ли они с теми, какие мы употребляем в быту, считая на бумаге или на счетах? Или вычислительные операции производились на Руси иначе?
Большую работу по выявлению и изучению источников о русской вычислительной технике провел И. Г. Спасский. Им написано обстоятельное исследование о происхождении и истории русских счетов. Счеты в своей первоначальной форме («дощаный счет»), по-видимому, сформировались в России не ранее второй половины XVI в.
Большую работу по выявлению и изучению источников о русской вычислительной технике провел И. Г. Спасский. Им написано обстоятельное исследование о происхождении и истории русских счетов. Счеты в своей первоначальной форме («дощаный счет»), по-видимому, сформировались в России не ранее второй половины XVI в.
Иллюстрация из учебника арифметики Я. Кебеля, 1514 г.
В XVI в. знание практической математики применялось прежде всего для торговых и налоговых операций. Определенные математические формулы использовались церковью для расчета Пасхалий, церковного календаря, хронологического определения праздников и церковных служб.
Историки науки считают, что развитие торговли в XVI веке вызвало к жизни арифметические руководства. Знаток древнерусских книг А.И. Соболевский описывает два из них. «Счет греческих купцов, учат младых деток считать, имущих десять грань» - таблица умножения (Пифагорова таблица), входившая в состав псалтыри XVI в. и «Сия книга глаголема, по-гречески арифметика, а по-русски - цифирная счетная мудрость». Скорее всего, это были переделки с иностранных изданий, подогнанные под русские нужды.
Историки науки считают, что развитие торговли в XVI веке вызвало к жизни арифметические руководства. Знаток древнерусских книг А.И. Соболевский описывает два из них. «Счет греческих купцов, учат младых деток считать, имущих десять грань» - таблица умножения (Пифагорова таблица), входившая в состав псалтыри XVI в. и «Сия книга глаголема, по-гречески арифметика, а по-русски - цифирная счетная мудрость». Скорее всего, это были переделки с иностранных изданий, подогнанные под русские нужды.
Гнеденко Б.В. в «Очерках по истории математики в России» пишет: «На математическое развитие древней Руси огромное влияние оказало введение славянского алфавита, основанного на греческом, и перенос к нам греческой системы нумерации». Говоря простыми словами, буквы служили одновременно и числами, при этом сверху буквы ставили знак титло ̃. Порядок букв и цифр не совпадали. Например, вторая буква алфавита «Б» - буки – не имела цифрового обозначения.
Соотношение старославянского буквенного счета и индо-арабских цифр
Для обозначения тысяч перед каждой буквой ставили знак - косая линия, перечёркнутая два раза, для десятков тысяч (тьмы) буквы ставили в кружок, для сотен тысяч (легионов, неведий) – в кружке из точек, для миллионов (леодров) – в кружке из черточек. Пример буквенного обозначения привычных нам арабо-индийских цифр.
Для обозначения тысяч перед каждой буквой ставили знак - косая линия, перечёркнутая два раза, для десятков тысяч (тьмы) буквы ставили в кружок, для сотен тысяч (легионов, неведий) – в кружке из точек, для миллионов (леодров) – в кружке из черточек. Пример буквенного обозначения привычных нам арабо-индийских цифр.
Инструменты и приемы сошной арифметики
Большие цифры требовались для проведения торговых операций. И для облегчения их сложения применялись особые устройства – счеты, получившие название «дощаный счет».
Как пишет историк Р.А. Симонов: «Первоначально «дощаный счет» был довольно громоздким прибором, содержащим четыре вычислительных поля, представлявших собой деревянные рамы с закрепленными прутьями/шнурами с нанизанными счетными костяшками для денежного счета, фискальных расчетов, вычисления мер емкостей и весов. В отличие от современных счетов, «дощаный счет» имел в нижней части прутья/шнуры для счета четями и третями с их двоичными долями». «Несмотря на внимание историков науки к «дощаному счету», он не до конца изучен», - сетует ученый. Поэтому мы не сможем его описать, лишь зафиксируем, что подобное счетное устройство существовало и скорее всего было предтечей привычных нам счет с костяшками.
Появлению «дощаного счета», вызванного сложными расчетами принятой во второй половине XVI в. единой налоговой поземельной единицы (большой сохи), предшествовала более простая система – счет на плодовых косточках. Об этом упоминает опричник немец Генрих Штаден: «В Русской земле счет ведут при помощи сливяных косточек». Древний счет костьми, в основе которого лежит старинная пятеричная система счисления, в Европе сохранялся значительно дольше, чем в России, где он был достаточно оперативно и рано заменен счетами, в основе устройства которых лежат десятичный принцип счисления и дощаный счет.
Затем было введение во второй половине XVI в. единой окладной поземельной единицы — так называемой большой сохи. Это нововведение должно было способствовать унификации налоговой системы. Новшество имело математический аспект, состоявший в вычислении коэффициентов, по которым с учетом качества земли и сословного положения владельцев устанавливалась условная мера — соха. В соответствии с этим следовало решить две задачи: 1) разработать арифметическую систему действия с дробями для обеспечения возникающих вычислительных нужд, 2) «привязать» эту арифметическую систему к инструменту, посредством которого можно было более рационально выполнять необходимые подсчеты. «Сошная» арифметика со специфическими «сошными» дробями была разработана.
Как пишет историк Р.А. Симонов: «Первоначально «дощаный счет» был довольно громоздким прибором, содержащим четыре вычислительных поля, представлявших собой деревянные рамы с закрепленными прутьями/шнурами с нанизанными счетными костяшками для денежного счета, фискальных расчетов, вычисления мер емкостей и весов. В отличие от современных счетов, «дощаный счет» имел в нижней части прутья/шнуры для счета четями и третями с их двоичными долями». «Несмотря на внимание историков науки к «дощаному счету», он не до конца изучен», - сетует ученый. Поэтому мы не сможем его описать, лишь зафиксируем, что подобное счетное устройство существовало и скорее всего было предтечей привычных нам счет с костяшками.
Появлению «дощаного счета», вызванного сложными расчетами принятой во второй половине XVI в. единой налоговой поземельной единицы (большой сохи), предшествовала более простая система – счет на плодовых косточках. Об этом упоминает опричник немец Генрих Штаден: «В Русской земле счет ведут при помощи сливяных косточек». Древний счет костьми, в основе которого лежит старинная пятеричная система счисления, в Европе сохранялся значительно дольше, чем в России, где он был достаточно оперативно и рано заменен счетами, в основе устройства которых лежат десятичный принцип счисления и дощаный счет.
Затем было введение во второй половине XVI в. единой окладной поземельной единицы — так называемой большой сохи. Это нововведение должно было способствовать унификации налоговой системы. Новшество имело математический аспект, состоявший в вычислении коэффициентов, по которым с учетом качества земли и сословного положения владельцев устанавливалась условная мера — соха. В соответствии с этим следовало решить две задачи: 1) разработать арифметическую систему действия с дробями для обеспечения возникающих вычислительных нужд, 2) «привязать» эту арифметическую систему к инструменту, посредством которого можно было более рационально выполнять необходимые подсчеты. «Сошная» арифметика со специфическими «сошными» дробями была разработана.
«Дощаный счет» из 2 рам, соединенных перемычками с разделенными неполными рядами и 10 четками в полных рядах
Значимость рукописи "Роспись сошному письму"
В рецензии на книгу «Арифметика в Московском государстве XVI века» Р.А. Симонов пишет о расшифровке древнерусских способов счета в системе «сошных дробей» (подсчета налогов с сохи), предложенной М.А. Цайгером.
«М.А. Цайгер воспроизводит одну из таких формул, которая в древнерусских сошных дробях звучит так: «Четь да полчети да пол-полтрети да пол-полполтрети, итого треть и полтрети сохи». В современном обозначении дробей она может быть выражена следующим равенством: 1/4 + 1/8 + 1/12 + 1/24 = 1/3+1/6. Смысл равенства состоял в переводе одних сошных дробей в другие, что было нужно для рационализации вычислений при взимании налога с угодий, состоящих из участков владений различной величины и ценности (пашни, леса, луга и пр.)…
Для лучшего взимания налогов требовалось определение площади принадлежащей тому или иному владельцу земли. Как переписчики вычисляли площадь участков разной формы, такие как «поле четвероугольное с тремя великим мысы» и другие четыреугольные же поля иных очертаний»? Т.И. Райнов в книге «Наука в России XI-XVII веков» сообщает о руководстве «О земном верстании», содержащем указания по практической геометрии, как правильно решать подобные задачи. Она дошла до нашего времени в списке XVII века – «Книге сошного письма», из которой историк приводит пример вычисления площади прямоугольника.
«М.А. Цайгер воспроизводит одну из таких формул, которая в древнерусских сошных дробях звучит так: «Четь да полчети да пол-полтрети да пол-полполтрети, итого треть и полтрети сохи». В современном обозначении дробей она может быть выражена следующим равенством: 1/4 + 1/8 + 1/12 + 1/24 = 1/3+1/6. Смысл равенства состоял в переводе одних сошных дробей в другие, что было нужно для рационализации вычислений при взимании налога с угодий, состоящих из участков владений различной величины и ценности (пашни, леса, луга и пр.)…
Для лучшего взимания налогов требовалось определение площади принадлежащей тому или иному владельцу земли. Как переписчики вычисляли площадь участков разной формы, такие как «поле четвероугольное с тремя великим мысы» и другие четыреугольные же поля иных очертаний»? Т.И. Райнов в книге «Наука в России XI-XVII веков» сообщает о руководстве «О земном верстании», содержащем указания по практической геометрии, как правильно решать подобные задачи. Она дошла до нашего времени в списке XVII века – «Книге сошного письма», из которой историк приводит пример вычисления площади прямоугольника.
Книги сошного письма
Рукописные книги в России 16—17 вв., содержавшие обзор русских поземельных мер и указания об их применении при измерении пашни. Книги сошного письма снабжались для практического руководства лица, отправлявшиеся по городам и уездам для составления писцовых книг (См. Писцовые книги). Их возникновение связано с податной реформой середины 16 в. Древнейшая опубликованная книга датируется 1629 и содержит сведения о мерах земельных площадей, руководства по их измерению и исчислению окладных единиц (сох и вытей) с учетом качества земли («добрая», «средняя», «худая») и категории землевладения. Для удобства пользования Книги сошного письма снабжалась арифметическими выкладками, геометрическими чертежами и геодезическим руководством.
Практическое значение рукописи при землемерии
Рукопись писали писцы, не имеющие специальных знаний. Но так как грамотность для землемера необходима, к ним приставлялись грамотные чиновники-подьячие и дьяки.
В рукописи прописано про земельные меры, про качество почвы трех разрядов. Уравнивалась их ценность.
В нашей рукописи речь идет о земельной мере — соха. Рукопись представляет собой таблицу сумм, получаемых от сложения различных частей сохи.
Давайте проверим правила данной рукописи.
В рукописи прописано про земельные меры, про качество почвы трех разрядов. Уравнивалась их ценность.
В нашей рукописи речь идет о земельной мере — соха. Рукопись представляет собой таблицу сумм, получаемых от сложения различных частей сохи.
Давайте проверим правила данной рукописи.
Мы нашли ошибки в 4,7 и 15 правиле. Давайте их исправим:
Данная рукопись является показательным примером исторического развития и применения математики и может использоваться как руководство для деления площадей земель. Практика меняется, появляются новые инструменты хозяйственного быта, новые современные задачи, но математика не стареет. Она считалась и до сих считается одним из немногих "свободных искусств" , составляющая базу высшего образования и воспитания.
