Мы команда "Формула успеха"

"Секрет успеха - в четком понимании ситуации"
Марк Леви

Древний Египет

Древний Вавилон

Древний Рим

Дроби древнего мира

Дроби Древнего Египта

Египтяне все дроби записывали как суммы долей. Например: 8/15=1/3+1/5. Дроби 1/n ( где n — натуральные число ), которым египтяне отдавали предпочтение, в современной математике именуются аликвотными ( от латинского aliguot — "несколько''). То есть аликвотными дробями называются дроби с числителем 1. И даже сами аликвотные дроби они часто стремились представить в виде суммы меньших аликвотных дробей. Например,
1/2=1/3+1/6, 1/4=1/5+1/20
Первой дробью, с которой познакомились люди, была половина. Хотя названия всех следующих дробей связаны с названиями их знаменателей (три — «треть», четыре — «четверть» и т. д.), для половины это не так — ее название во всех языках не имеет ничего общего со словом «два». Следующей дробью была треть.

Первый дошедший до нас общий метод разложения произвольной дроби на египетские составляющие описал Фибоначчи в XIII веке. В современной записи его алгоритм можно изложить следующим образом.
1. Дробь разлагается на 2 слагаемых:



Здесь — [n/m] частное от деления n на m, округлённое до целого в большую сторону, а (-n)mod m — (положительный) остаток от деления -n на m.
2. Первое слагаемое в правой части уже имеет вид египетской дроби. Из формулы видно, что числитель второго слагаемого строго меньше, чем у исходной дроби. Аналогично, по той же формуле, разложим второе слагаемое и продолжим этот процесс, пока не получим слагаемое с числителем 1.
Метод Фибоначчи всегда сходится после конечного числа шагов и даёт искомое разложение.
Пример:



Однако полученное таким методом разложение может оказаться не самым коротким. Пример его неудачного применения:



в то время как более совершенные алгоритмы приводят к разложению:



Современные математики продолжают исследовать ряд задач, связанных с египетскими дробями и достигли больших успехов в этом направлении.
Египетские дроби получили распространение и в других странах. О них упоминается в литературе Древней Греции. Решение с помощью аликвотных дробей нашло наибольшее применение в Индии.
Аликвотные величины в настоящее время используются не только в математике. В музыке есть понятие аликвотных струн. Аликвотные струны служат для обогащения тембра и усиления звучания.В физике, химии и фармацевтике используется понятие аликвотная доля или аликвота - это точно известная часть раствора.

Рассмотрим на практике:


Простейшими задачами считаются задачи разложения дроби на сумму аликвотных дробей. Эти задачи можно разделить на две категории:
1. в знаменателе простое число;
2. в знаменателе составное число.
Решение задач первого типа:
Для того, чтобы выполнить это задание, нужно умножить числитель и знаменатель дроби на такое число, чтобы числитель получившейся дроби можно было разложить на слагаемые, каждый из которых будет делителем знаменателя (так как при сокращении в числители получится 1). После решения многих таких задач мы сделали вывод, что таким «удобным» числом является число 6.
Задачи второго типа также можно разделить на три вида:
1) числитель сразу можно представить в виде суммы делителей знаменателя;
2) в числителе число наименьшего делителя знаменателя;
3) числитель можно разложить на сумму чисел, среди которых есть как делители знаменателя, так и числа не являющиеся таковыми:
Приведем свои примеры.

Дроби Древнего Вавиона

Первоначально в Древнем Вавилоне использовалась двадцатеричная система счисления, как более древняя у выходцев с африканского континента.
Первые поселенцы Древнего Междуречья были негроидной расы и носителями африканских культурных традиций, то есть они использовали счётные доски с лунками, приспособленными для расчётов в двадцатеричной системе счисления.
Устный счёт появился раньше письменности. В Африке у многих народов для производства расчётов использовались специальные доски. Суть этих досок аналогична более известному абаку.
Счётные африканские доски, видимо, появились, когда система расчётов существовала буквально на земле: создавалась система из лунок в земле в виде двух или трёх рядов. Расчёты велись с использованием подручного материала – семена, орешки, камушки, ракушки. Количество камней в лунке в начальном положении этих игр связано с определённой системой счисления, практиковавшейся до возникновения этих игр. Наиболее известные игры с лунками на доске – это игры: “манкала” и “вари”. На фото игральная деревянная доска из Национального музея Эфиопии в Аддис-Абебе: на доске два ряда противолежащих лунок (по 12 лунок в ряду) с круглыми орешками в лунках.

1. Гипотеза Теона Александрийского.
Теон полагает, что число 60 было выбрано вавилонянами за основание системы счисления в силу своих арифметических свойств: оно имеет наибольшее число различных делителей среди сравнительно небольших чисел(1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60).

2. Гипотеза Тюро-Данжена (1932)
Тюро-Данжен предположил, что в древнейшее время вавилонская нумерация имела смешанный десятично-шестеричный характер; единицей второго разряда служила десятка; единица же третьего разряда образовалась из шести единиц второго разряда, так что роль нашей "сотни" играло число 60. Тюро-Данжен считает, что причина этого в том, что число 6, делящееся на 2 и 3, оказалось более удобным по своей арифметической структуре.

3. Гипотеза Нейгебауэра (1927)
Гипотеза О. Нейгебауэра заключается в том, что после аккадского завоевания шумерского государства там долгое время одновременно существовали две денежно-весовые единицы: шекель (сикль) и мина, причём было установлено их соотношение 1 мина = 60 шекелей. Позднее это деление стало привычным и породило соответствующую систему записи любых чисел.

4. Гипотеза Кевича (1904)
Кевич предполагает, что шестидесятеричная система возникла из смешения двух систем, существовавших прежде независимо: десятеричной и шестеричной. Одна из них, по мнению Кевича, должна быть система исчисления шумеров, другая - аккадян. Гипотеза мало обоснована фактами, оставляла открытым вопрос, какой из двух народов, шумерский или аккадский, имел первоначально шестеричную систему.

5. Гипотеза Веселовского И.Н. (1959)
Однако эту версию опроверг знаменитый советский математик – Иван Николаевич Веселовский.
В качестве довода он привел, что Аккадское завоевание проходило примерно в двухтысячных годах до нашей эры. В результате он выдвинул свою гипотезу, что шестидесятеричное числовое отображение было построено на пальцевом методе счета. Гипотеза Веселовского связана с применением двенадцатеричной системы счисления и счёта на пальцах (60 = 5×12, где 5 — число пальцев на руке, а —12 количество фаланг на пальцах одной руки (не считая большого))
Эта версия получила много критики от историков, которые ссылались на то, что в то время нумерацию можно было охарактеризовать как десятичную. Однако в 1985 году французский математик Жор Ифра, в своей работе «Всеобщая история чисел» аргументирует мнение, которое было близко к гипотезе советского ученого.

Веселовский Иван Николаевич (1892—1977)— русский и советский механик,математик и историк наук

Вывод: По нашему мнению, гипотеза Веселовского наиболее вероятна, т.к. шестидесятеричная система счисления возникла в результате наложения двух систем двенадцетеричной и пятеричной.

Позиционный принцип записи в клинописных текстах соответствует лункам и количеству камней в каждой лунке на счётной доске, поэтому запись легко воспроизвести, а положение камней на доске легко записать клинописью. Роль счётных камней выполняли глиняные шарики.

Для записи чисел использовались всего два знака : стоячий клин для обозначения единиц и лежачий клин для обозначения десятков внутри шестидесятеричного разряда.










В Месопотамии археологи уже нашли и продолжают находить клинописные таблички с записями математического характера частью на аккадском, частью на шумерском языках, а также справочные математические таблицы. Сохранились названия арифметических действий более раннего, шумерского периода месопотамской истории. Так, операция сложения называлась «накопление» или «прибавление», при вычитании употреблялся глагол «вырывать», а термин для умножения означал «скушать».

Клинописные тексты, посвящённые решению алгебраических и геометрических задач, свидетельствуют о том, что вавилонские математики умели решать некоторые специальные задачи, включавшие до десяти уравнений с десятью неизвестными, а также отдельные разновидности кубических уравнений и уравнений четвёртой степени. Квадратные уравнения вначале служили, в основном, сугубо практическим целям – измерению площадей и объёмов, что отразилось на терминологии. Например, при решении уравнений с двумя неизвестными, одно называлось «длиной», а другое – «шириной». Произведение неизвестных называли «площадью».

Прибегать к вычислениям, жизнь заставляла вавилонян на каждом шагу. Арифметика и нехитрая алгебра нужны были в ведении хозяйства, при обмене денег и расчётах за товары, вычислении простых и сложных процентов, налогов и доли урожая, сдаваемой в пользу государства, храма или землевладельца. Математических расчётов, причём довольно сложных, требовали масштабные архитектурные проекты, инженерные работы при строительстве ирригационной системы, баллистика, астрономия, астрология.

Особое значение имело в древности точное измерение полей, садов, строений – ежегодные разливы рек приносили большое количество ила, который покрывал поля и уничтожал межи между ними, и после спада воды землемерам по заказу их владельцев частенько приходилось вновь перемеривать наделы.

Многие сохранившиеся клинописные материалы представляли собой учебные пособия для вавилонских школьников, в которых приводились решения различных несложных задач, часто встречавшихся в практической жизни.

Дроби Древнего Рима

Римляне использовали только лишь определенные дроби, какие замещали теоретические доли подразделами применяемых граней. Данная концепция дробей базировалась на разделении на 12 частей считанные единицы веса, что именовалась асс. Таким образом появились римские двенадцатеричные дроби.Знаменатель у таких дробей всегда равнялся 12. Для веса 1 унция это 1/12 либры, то есть 21,166 г.

Путь, время, а также прочие величины сопоставляли с явной вещью - весом. При этом, безусловно, разговор исходил никак не касательно взвешивании. А для дробей, получающихся сокращением дробей со знаменателем 12 или раздроблением двенадцатых долей на более мелкие, были особые названия. Всего применялось 18 различных названий дробей. Например, в ходу были такие названия:

• Дробь 1/12, называлась унция и обозначались как одна . (точка).
• Дробь 2/12 = 1/6 называлась секстанс, т.е. шестой, и обозначалась как : (две точки).
• Дробь 3/12 = 1/4 называлась квадранс, т.е. четверть, и обозначалась как … (три точки).
• Дробь 4/12 = 1/3 называлась триенс, т.е. третий, и обозначалась как :: (четыре точки).
• Дробь 5/12 называлась квинкункс, т.е. пять унций, и обозначалась как ….. (пять точек). Могли обозначаться как пять точек на стороне игральной кости.
• Дробь 6/12 = 1/2 обозначались как S, называлась семис, т.е. половина.
• Дробь 7/12 обозначались как S. (S с одной точкой) и называлась септункс, т.е. семь унций.
• Дробь 8/12 = 2/3 обозначались как S: (S с двумя точками) и называлась бэс, т.е. два, две, дважды.
• Дробь 9/12 = 3/4 обозначались как S… (S с тремя точками) и называлась додранс, т.е. меньше четверти.
• Дробь 10/12 = 5/6 обозначались как S:: (S с четырьмя точками) и называлась декстанс, т.е. без шестой.
• Дробь 11/12 обозначались как S:.: (S с пятью точками) и называлась дэункс, т.е. меньше унции.
• Дробь 12/12 = 1 обозначались как I, называлась асс, т.е. «единица» (асс – так называлась бронзовая монета в 1 денежную единицу).

Асс обозначался чертой,половина асса (6 унций) — буквой S (первой в латинском слове Semis-половина). Эти два знака служили для записи любой двенадцатеричной дроби, каждая из которых имела свое название.
Неудобство такой системы заключалось в том,что нельзя было выразить числа в виде дробей со знаменателями 10 и 100.
Чтобы работать с такими дробями, нужно было обращаться к специальным таблицам - сложения и умножения дробей.
У римлян не было символа для нуля, но с V века нашей эры появилась буква N (от слова NULLA) , которая использовалась для обозначения нуля до принятия индо-арабских цифр.
Для обозначения больших чисел использовали апострофы и символа , горизонтальная линия вверху, которая указывала, что выделенное таким способом число умножено на 1000. Таким образом, буква V с горизонтальной линией вверху равна 5000. Также добавление вертикальных линий до и после числа увеличивало множитель до ста тысяч или до миллиона.

Иногда можно услышать: "Он скрупулёзно изучил эту тему" . То есть человек тонко изучил эту тему. Происходит слово "скрупулёзно" от названия 1/288 асса - "скрупулус".

Такой страной является США. В ней пользуются унцией, которая применяется для измерения объёма жидкости и равна 29,573 мл. Также в США и других англоязычных странах используют унцию авердюпуа, которая нужна для измерения массы и равна 28,35 г. ,и тройскую унцию, применяемая для измерения массы драгоценных металлов (серебро, платина, палладий и т.д) и равна 31.1034768г.

Вывод